几何变换

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变换

线性代数的几何意义就是空间上的变换，常见的变换有： * 平移(translating) * 缩放(scaling) * 旋转(roration) * 剪切/投影(shearing)

因为正常情况下我们是在三维空间操作，所以引入四维的齐次坐标系，这样可以更加方便地表示出这些变换。

齐次坐标系

齐次坐标系下，一个点的坐标是\((x,y,z,w) \(，如果\)w=0 \(，那么就是一个向量，向量只表示方向，\)w=1\)则表示一个点。这样，我们可以把不同变换都表示出来：

平移

\(\left\lbrack \begin{array}{l} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array}\right\rbrack = \left\lbrack \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & {T}_{x} \\ 0 & 1 & 0 & {T}_{y} \\ 0 & 0 & 1 & {T}_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right\rbrack \bullet \left\lbrack \begin{array}{l} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array}\right\rbrack\)

缩放

\(\left\lbrack \begin{array}{l} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array}\right\rbrack = \left\lbrack \begin{matrix} {S}_{x} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {S}_{y} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {S}_{z} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right\rbrack \bullet \left\lbrack \begin{array}{l} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array}\right\rbrack\)

旋转

如果使用三角函数矩阵表示旋转，固然可以连续乘多个矩阵来达到绕任意轴任意方向旋转的目的，但是这样会很容易导致万向节锁死，而使用四元数（可以看做对于复数的拓展）表示旋转可以有效避免这个问题，但是四元数又不够直观。

绕z轴旋转 \(\left\lbrack \begin{array}{l} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array}\right\rbrack = \left\lbrack \begin{matrix} \cos \left( \theta \right) & - \sin \left( \theta \right) & 0 & 0 \\ \sin \left( \theta \right) & \cos \left( \theta \right) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right\rbrack \circ \left\lbrack \begin{array}{l} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array}\right\rbrack\)

投影

在x轴方向投影 \(\left\lbrack \begin{array}{l} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array}\right\rbrack = \left\lbrack \begin{array}{llll} 1 & a & b & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right\rbrack \bullet \left\lbrack \begin{array}{l} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array}\right\rbrack\)