概率论与数理统计

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单元随机变量

离散

1. 01分布 $X \sim B(1,p) $
2. 二项分布 $X \sim B(n,p) $
3. 泊松分布 $X \sim P(\lambda) $

连续

1. 均匀分布 $$X \sim U(a,b) \ f(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a},a\leq x \leq b\ 0,x b \end{cases} $$

2. 指数分布 $$X \sim Exp(\lambda) \ f(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x},x\geq 0\ 0,x<0 \end{cases} $$

3. 正态分布 $$X \sim N(\mu,\delta^2)\ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\theta}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\theta^2}} $$ 对称性：$$\Phi(x)+\Phi(-x)=1 $$ 标准化：$$\frac{\Phi(x)-\mu}{\delta} $$

函数分布

离散型

离散型先找出y的可能值，再去找$P(Y=y_i)=P(X\in D_j) $

连续型

万能法

连续型先求概率分布函数，找Y的有效区间，有效区间左侧为0，右侧为1，然后单独讨论有效区间，$P(Y<y)=P(X\in D_j) $

反函数法

用y表示x$$f_y(y)=h'(y)f_x(h(y)) $$

Warning

随机变量的分布不只有离散型和连续型，可以是混合的，就像是连续加上散点

多元随机变量

离散型

联合概率分布律

连续型