矩阵的分解

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Note

这一篇主要补充一点线代甲没学的矩阵分解，线代甲学了特征值分解(正交分解算特征值分解的一种特殊情况)

LU分解

将一个矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即：

$A = LU$

其中L是一个下三角矩阵（对角线上的元素为1），U是一个上三角矩阵。这种方法常用于解决线性方程组、计算行列式以及求解矩阵的逆。

其实下三角矩阵是消元矩阵，因为初等行变换等于左乘初等矩阵，上三角矩阵是高斯消元法的结果，要求不能有行变换其实是为了保证一系列下三角矩阵主对角线上方全部为0，这样乘起来就会是一个主对角线全为1，主对角线上方元素全为0的矩阵

将一个矩阵A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即：

$A = QR$

其中Q是一个正交矩阵，R是一个上三角矩阵。QR分解在最小二乘问题和特征值问题中非常有用。

一个列向量线性无关的，m*n级实矩阵A，可分解为$A=QR $,其中Q的列向量组为正交单位向量组，R是主对角元全为正数的上三角矩阵

因为列向量线性无关，经过施密特正交化后，可得到一个正交向量组，把正交化的结果写成矩阵乘法，再单位化即可得到Q和R

将任意矩阵A分解为三个矩阵的乘积： $A = UΣV^T$ 其中U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵，其对角线上是A的奇异值。SVD是数据压缩、降维、图像处理等领域的重要工具。

m*n实矩阵A可分解为$A=QDT' $

所谓的非奇异矩阵（non-singular matrix）是指行列式不为零的方阵，所以说矩阵是非奇异矩阵也就是说它是可逆的。

对于一个正定矩阵A，可以将其分解为一个下三角矩阵L及其转置的乘积： $A = LL^T$ Cholesky分解是一种快速有效的分解方法，常用于求解线性方程组、统计学和数值分析中。

任何方阵A都可以分解为如下形式： $A = QTQ^H$ 其中Q是一个酉矩阵，T是一个上三角矩阵，$Q^H$是Q的共轭转置。Schur分解在计算特征值和求解矩阵函数时非常有用。

对于任意矩阵A，它可以分解为一个可逆矩阵P和一个Jordan标准形矩阵J的乘积： $A = PJP^{-1}$ Jordan分解在处理不可对角化矩阵时非常有用。