几何理解

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线代的本质

云峰的线代甲太侧重于技巧与计算了，基本完全是在从代数视角考虑问题，而事实上了解线性代数的几何性质有助于我们理解线性代数中的抽象概念。

矩阵乘法的几何意义可以通过以下几个方面来理解：

线性变换的组合：在几何上，矩阵乘法代表了多个线性变换的组合。假设有两个矩阵 \(A\) 和 \(B\)，分别对应线性变换 \(T_A\) 和 \(T_B\)。那么矩阵乘法 \(C = AB\) 对应的线性变换 \(T_C\) 就是先应用 \(T_B\) 再应用 \(T_A\)。换句话说，矩阵乘法 \(AB\) 代表了先由 \(B\) 进行一次线性变换，然后再由 \(A\) 进行一次变换。
缩放、旋转与反射：矩阵乘法可以用来描述多个几何操作的组合。例如，矩阵 \(A\) 可能表示一个旋转，而矩阵 \(B\) 表示一个缩放。矩阵乘法 \(AB\) 表示的就是先旋转后缩放的组合效果。这在二维和三维空间中应用广泛，如在计算机图形学中，复杂的变换可以通过矩阵乘法组合简单的变换来实现。
矩阵乘法的方向性：矩阵乘法是非交换的，这意味着顺序很重要。先乘以 \(A\) 再乘以 \(B\) 与先乘以 \(B\) 再乘以 \(A\) 通常会产生不同的结果。这一性质在几何意义上表示不同的变换顺序会得到不同的最终结果。例如，先旋转再平移与先平移再旋转通常会导致不同的位置。

行列式在几何上的意义可以从以下几个方面来理解：

面积和体积：
在二维空间中，给定两个向量 \(\mathbf{u}\) 和 \(\mathbf{v}\)，其行列式表示这两个向量所构成的平行四边形的面积。如果行列式为零，意味着这两个向量共线，平行四边形的面积为零。在三维空间中，三个向量的行列式表示这三个向量所构成的平行六面体的体积。在更高维度也是同理。
变换的缩放因子：
对于一个线性变换来说，其对应的矩阵的行列式的绝对值表示该变换对面积或体积的缩放因子。行列式为1表示面积或体积保持不变，行列式为零表示变换将整个空间压缩到一个更低维度的子空间（如压缩到一个平面或直线），从而使得体积变为零。
正负号与方向性：
行列式的正负号与向量集合的方向有关。在二维空间中，如果从 \(\mathbf{u}\) 到 \(\mathbf{v}\) 的旋转是逆时针方向，则行列式为正；如果是顺时针方向，则行列式为负。在三维空间中，行列式的正负号可以反映右手系与左手系的转换。